С отличием окончил Московскую медицинскую академию им. И. М. Сеченова, c 2006 года − доктор медицинских наук.
С 1991 года Леонид 15 лет посвятил становлению и развитию страховой компании РОСНО, сыграл ключевую роль в выводе компании в лидеры рынка. С 2003 года занимал должность генерального директора и председателя правления РОСНО.
С 2006 по 2008 год Леонид возглавлял компанию «Мобильные ТелеСистемы» в статусе президента и председателя правления. За время его работы в МТС компания более чем в два раза увеличила свою капитализацию.
В период с 2008 по 2011 год Леонид руководил ОАО АФК «Система», был президентом, председателем правления, членом совета директоров.
С 2010 по 2012 год он занимал кресло председателя совета директоров ОАО «РуссНефть».
В период с 2012 по 2013 года Леонид был членом наблюдательного совета ОАО «ВТБ».
В 2011 году он выступил сооснователем компании «Тим Драйв», совет директоров которой возглавляет и по сей день.
С 2012 года Леонид также является членом совета директоров компаний «РоснаноМедИнвест» и «НоваМедика».
Леонид Меламед входит в состав Экспертного совета при Правительстве Российской Федерации.