С отличием окончил Московский институт народного хозяйства им. Г. В. Плеханова по специальности «экономика торговли» в 1988 году; в 1995 году – Центр подготовки менеджеров при Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова, отделение банковского дела по специальности «финансы и кредит, денежное обращение».
В Сбербанке России Андрей Донских работает с марта 2010 года. В августе 2013 года был назначен на должность руководителя Sberbank CIB. В период с 2004 по 2010 год в Финансовой корпорации «Уралсиб» занимал должности главного исполнительного директора по розничному бизнесу, заместителя председателя правления, председателя правления Банка «Уралсиб», генерального директора корпорации. Свою трудовую деятельность Андрей Донских начал в 1988 году в должности экономиста, работал в МИНХ им. Г. В. Плеханова, а с 1990 года – в коммерческих структурах.