В 1978 году окончил Всесоюзный заочный электротехнический институт связи по специальности многоканальная электросвязь.
Трудовую деятельность начал в 1966 году в городе Краснодаре монтером связи телеграфа. С 1975 года по 1976 год являлся председателем местного комитета профсоюза телеграфа в городе Краснодаре. С 1976 года по 1982 год работал начальником цеха по техническому обслуживанию связей телеграфа в городе Краснодаре.
С 1982 по 1991 год он прошел путь от старшего инженера телеграфно-телефонной станции до заместителя начальника телеграфно-телефонной станции в городе Магадане.
С 1991 года по 1992 год являлся заместителем председателя горисполкома.
С 1992 года по 1997 год Степан Азнаурьян занимал должность заместителя главы администрации города Магадана.
С 1997 года по 2000 год был заместителем губернатора – руководителем представительства Магаданской области при Президенте Российской Федерации и Правительстве Российской Федерации.
С 2001 года по 2003 год работал в коммерческих структурах.
С 2004 года по ноябрь 2013 года – руководитель департамента полномочного представительства города Магадана в городе Москве.
С 2013 года – заместитель губернатора Магаданской области.